2. Escribir progresiones aritméticas y geométricas tanto de manera recurrente como mediante una fórmula explícita, usar estas para modelar situaciones y traducir entre las dos formas.

Los estudiantes ya deben saber que una progresión es una lista ordenada de números en la que cada término es definido por su posición en la lista. Parecido a cómo cada año en tu cumpleaños eres un año más viejo. Eso hasta que cumples 29; porque a partir de ahí ya no envejeces.

Se podría decir que en el primer año tienes un año. En el segundo año tienes dos años, etcétera. En cualquier momento te puedes hacer la pregunta: ¿después de x años cuántos años tendré? Puedes responder a esta pregunta con bastante facilidad, puesto que el término de la progresión está en su posición. En otras palabras, si f(x) es tu edad y x es el número de años que han pasado desde tu nacimiento, f(x) = x. Es una función bastante sencilla.

¿O no lo es? Los estudiantes deben saber que también pueden escribir funciones explícitas de manera recurrente. Por ejemplo, con cada año que pasa, tu edad aumenta por 1. Lo podemos interpretar como la suma constante de 1 a la edad que tenías antes. En otras palabras, podríamos escribir tu edad con facilidad, como f(x) = f(x – 1) + 1 comenzando con f(1) = 1. Asegúrate de que tus estudiantes sepan que es importante tener una base para las funciones recurrentes. De otra manera, terminaremos así.

Está claro que los estudiantes deben saber manejar sucesiones (y por lo tanto también funciones) un poco más complejas. Las funciones aritméticas que adquieren la forma explícita A(n) = A(1) + (n – 1)d tienen la forma recurrente A(n) = A(n –em 1)/em +d y las funciones geométricas con la forma G(n) = G(1) × rn – 1 tienen la forma recurrente G(n) = G(n – 1) × r.

Una vez más, los estudiantes deben asegurarse de definir A(1) y G(1). Una vez que sepan convertir entre funciones explícitas y recurrentes, deben poder construir cualquiera de las dos (o ambas) a partir de un contexto determinado.