6. Calcula la distancia entre números en el plano complejo como el módulo de la diferencia y el punto medio de un segmento como el promedio de los números en sus puntos terminales.

El módulo de un número complejo a + bi es definido como  . Este pequeño número (o a veces grande) puede ser útil en diversas cuestiones que tienen que ver con números complejos.

Para los principiantes, ¿cuál es la distancia entre dos puntos? En geometría, la fórmula de distancia   es más o menos nuestra biblia para todo. Con los números complejos, no es diferente, excepto que, en vez de x₁ y y₂, tenemos a₁ y b₂. Utilizando estos valores genéricos, obtenemos .

Pero, ¿por qué insertar valores individuales a y b cuando podemos restar dos números complejos directamente? Si restamos a₁ + b₁i de a₂ + b₂i, obtendremos (a₂ - a₁) + (b₂ - b₁)icomo nuestra respuesta. Si calculamos el módulo de eso, obtendremos como resultado  .

¡Vaya! Eso significa que la distancia entre dos puntos imaginarios es la misma que el módulo de la diferencia entre los números complejos. Bastante ingenioso. 

¿No comprenden? Encuentra la distancia entre 5 + 2i y 6 + 4i para que este asunto imaginario comience a tener sentido para tus alumnos. 

En vez de insertar cuatro números en la fórmula de la distancia, podemos restarlos y reducirlos a dos. Al resolver 5 + 2i – (6 + 4i) nos dará como resultado -1 – 2i.

Ahora, encontremos ese módulo. Si a = -1 y b = -2, el módulo nos da una distancia de . No está mal.

Encontrar el punto medio de un segmento que une números complejos es incluso más fácil. Es como encontrar el punto medio de un segmento que une puntos reales. Todo lo que necesitamos hacer es calcular el promedio de los valores a y de los valores b.

Entonces, si queremos encontrar el punto medio del segmento que une 3 + 8i y 5 – 2i, tendríamos que encontrar el promedio de los valores a:

Y el promedio de los valores b:

El punto medio de nuestro segmento es 4 + 3i. ¿Quién dijo que las matemáticas eran difíciles?